Comprendere il termine derivativo nel controllo PID
Learn what derivative action contributes to a PID loop, why it can amplify measurement noise and setpoint changes, and how filtering, sampling, and staged tests make D tuning safer.
Opinione controversa: le lezioni di analisi matematica sarebbero molto più divertenti se portassero dei motori in aula. Non ho compreso nessuna applicazione pratica degli integrali e delle derivate finché non ho imparato a conoscere il feedback nei sistemi di controllo del movimento. I controlli proporzionale e integrale sono relativamente facili da comprendere (e sono già stati illustrati in precedenza), ma il termine derivativo può essere un po’ più difficile da visualizzare in un sistema reale.
Figura 1. Questo sistema didattico utilizza un potenziometro lineare come segnale di riferimento, in modo che possa essere modificato rapidamente ma non istantaneamente, una caratteristica utile per la nostra dimostrazione.
Grazie al team di Delta Motion di Battle Ground, nello stato di Washington, ho potuto prendere in prestito un’unità didattica che ci aiuterà a visualizzare questi guadagni PID come mai prima d’ora.
Che cos’è una derivata?
Non ha senso spiegare il risultato di un’equazione se prima non comprendiamo il termine stesso.
Una derivata è un modello matematico che ci permette di osservare quanto velocemente qualcosa si muove o cambia in un singolo e specifico istante. Formalmente, viene definita come il “tasso di variazione” di una variabile rispetto al tempo.
Un esempio fisico è rappresentato da un’automobile in movimento. Mentre guidate, cambiate posizione in ogni istante. Tuttavia, probabilmente accelerate e rallentate continuamente, a seconda del traffico e dei semafori. Ciò significa che, sebbene possiate aver percorso 10 miglia in 20 minuti, la vostra velocità in un determinato momento può essere elevata o ridotta. La derivata non è una velocità media, ma un valore istantaneo calcolato quando il tempo trascorso è praticamente nullo. Ci offre una visione ravvicinata di ciò che sta accadendo proprio ORA.
Figura 2. Nell’esempio dell’automobile, il “tasso di variazione” fisico è la velocità. Nel controllo del movimento, invece, la derivata trasforma l’errore istantaneo nel “tasso di variazione” dell’errore.
Che relazione ha con il controllo del movimento?
Quando gli oggetti sono in movimento, tendono a rimanere in movimento, secondo le leggi di Newton. Se ci stiamo avvicinando molto rapidamente a un obiettivo, dovremmo rallentare, altrimenti potremmo superarlo. D’altra parte, se l’obiettivo si allontana da noi, dovremmo aumentare l’uscita di controllo per rimanere precisamente sull’obiettivo.
Il controllo dell’uscita si basa sull’“errore” misurato dal sistema, ovvero la differenza tra il riferimento e il valore attuale. Questo errore viene valutato continuamente e il controllore può determinarne diversi aspetti. Qual è l’errore in questo momento (Kp)? Quanto si accumula l’errore nel tempo (Ki)? E con quale velocità cambia l’errore?
Per ciascuna di queste domande esiste un termine PID. Con quale velocità cambia l’errore? Questo è il compito del nostro nuovo termine Kd, ovvero del controllo derivativo.
Ci è voluto un po’ per arrivare alle definizioni, quindi osserviamo un paio di esempi. Per prima cosa, esaminiamo un profilo di movimento che non include alcun guadagno derivativo: un controllore solo PI. Entrambi i valori sono bassi, così da poter vedere chiaramente l’effetto combinato.
Figura 3. Un sistema a risposta lenta con guadagni P e I, ma senza guadagno D. Questo grafico viene utilizzato per stabilire un riferimento di base per la visualizzazione successiva.
Guadagno D basso
Quando viene applicato un guadagno derivativo basso, gli effetti sono più visibili mentre il riferimento cambia in modo relativamente brusco. Quando il riferimento cambia più rapidamente di quanto il sistema riesca a rispondere, l’errore aumenta notevolmente per un istante; il suo tasso di variazione sarà elevato.
Di conseguenza, l’uscita di controllo sarà anch’essa più alta per un breve istante mentre si regola il potenziometro del riferimento. Lo si può osservare come una pendenza più accentuata nella curva del valore attuale (linea rossa), che diminuisce improvvisamente tornando a una curva normale proprio quando l’ingresso smette di cambiare, poiché a quel punto l’errore sta diminuendo.
Figura 4. Risposta di un sistema con un guadagno D basso. Il sistema risponde rapidamente quando il riferimento cambia, quindi più lentamente quando il riferimento diventa costante.
Per spiegarlo meglio, quando il riferimento smette di cambiare e il sistema lo raggiunge, la differenza tra il riferimento e il valore attuale (l’errore) diventa sempre più piccola. In questo caso, il tasso di variazione è inferiore e anche il segnale di uscita diminuirà. Poiché l’influenza dei termini Kp e Ki fa stabilizzare l’uscita man mano che viene raggiunto il riferimento, l’influenza cumulativa di Kd si ridurrà nel tempo.
Guadagno D elevato
Quando un sistema reale risponde con valori effettivi di Kp e Ki, è probabile che si verifichi almeno un leggero overshoot. In un istante il valore attuale coincide perfettamente con il riferimento, ma in quello successivo lo ha superato di poco. In altre parole, l’errore è passato da zero a un nuovo valore molto rapidamente e il corrispondente tasso di variazione è molto elevato. Un Kd alto rileverà questo elevato tasso di variazione e imposterà immediatamente un segnale di uscita di controllo inverso altrettanto elevato; l’uscita supererà quindi rapidamente il riferimento nella direzione opposta.
Che cosa significherebbe fisicamente? Un forte tintinnio, un ronzio assordante, vibrazioni intense e un violento scuotimento dell’apparecchiatura, che oscillerebbe avanti e indietro. Non ho un video di questo effetto, poiché è stato molto sgradevole da osservare, anche solo per un istante, sebbene l’abbia sperimentato con il sistema didattico (le mie più sincere scuse al team di Delta Motion, ma il sistema didattico è perfettamente integro).
Il guadagno derivativo è un modo molto utile per mantenere il sistema sulla traiettoria corretta, ma se è troppo elevato può danneggiare l’apparecchiatura.
Qual è il valore corretto del guadagno?
Nei controlli PID non esiste una formula unica valida per tutti i sistemi. La massa, la velocità e il carico del sistema, insieme a molte altre variabili, influenzano il guadagno. Pensate ai veicoli: tutti contengono molle e ammortizzatori, ma le dimensioni e le caratteristiche di ciascuno variano enormemente in base alle dimensioni e allo scopo del veicolo.
La taratura è l’intero processo di analisi, verifica e ottimizzazione di ciascun sistema per selezionare i valori corretti, e sono disponibili strumenti per svolgere questo compito. Può essere un processo intimidatorio e rischioso quando si utilizzano apparecchiature di grande valore, ma comprendere come fisica e software collaborino per creare le migliori soluzioni di movimento offre grandi vantaggi.