Quando frequentavo la facoltà di ingegneria, avrei voluto studiare il calcolo infinitesimale più a fondo. Credo di aver capito i calcoli e come ottenere (molte delle) risposte corrette, ma non avevo realmente compreso come i vari termini sarebbero stati utilizzati in futuro. Sapevo calcolare l’area della superficie compresa tra due grafici o il tasso di variazione del livello di un serbatoio in riempimento, ma è stato solo quando ho lavorato con sistemi di controllo del movimento che ho imparato davvero come questi algoritmi modellano l’automazione.

Recentemente, grazie all’uso di un controllore e di un asse di Delta Motion a Battle Ground, nello stato di Washington, ho potuto registrare le forme d’onda di ingresso e di uscita di un grafico mentre il sistema era in movimento. La possibilità di regolare al volo i parametri P, I e D aiuta a visualizzare l’impatto di ciascun termine.

 

Figura 1. L’uso del controllo del movimento può aiutare a spiegare i dettagli dei guadagni PID in un sistema a circuito chiuso.

 

In questo tutorial ci limiteremo ai termini P e I, poiché quasi tutti i sistemi di controllo dei processi e del movimento li includono, compresi alcuni controllori PI dedicati. Analizzeremo più avanti gli effetti del termine D.

 

Guadagno proporzionale

Come abbiamo già visto negli articoli precedenti, un effetto proporzionale si verifica semplicemente quando il valore della variabile di ingresso influisce sull’uscita secondo una relazione lineare con moltiplicatore costante. Se l’ingresso è 5 e il guadagno è 2, l’uscita sarà 10.

Ora, traducendo questo nei termini del movimento, la variabile di ingresso è l’errore, ovvero la sottrazione tra (posizione obiettivo - posizione attuale). Più ci si allontana dalla posizione obiettivo, maggiore sarà l’errore.

Nota: Nella discussione seguente, grande e piccolo sono valori relativi. In alcuni sistemi PID, 1 può essere un valore grande, mentre in altri 500 può essere considerato piccolo. Tuttavia, il concetto rimane lo stesso, indipendentemente dall’ordine di grandezza del sistema finale regolato.

 

Guadagno proporzionale nullo

Se abbiamo un guadagno proporzionale nullo (0.0), l’uscita sarà zero e il sistema di movimento si sposterà lentamente da solo, sempre che si muova. Qualsiasi risposta anche solo parzialmente corretta sarebbe dovuta esclusivamente a un comando di uscita a circuito aperto chiamato feedforward. In sostanza, senza retroazione il sistema non ha idea di ciò che sta facendo.

 

Guadagno proporzionale ridotto

Se aggiungiamo una piccola quantità di guadagno proporzionale (5.0), il sistema ora è in grado di rispondere, ma continua a farlo lentamente. Se impartiamo un comando di posizione, il sistema inizierà a muoversi abbastanza rapidamente, ma rallenterà molto prima di raggiungere l’obiettivo. In effetti, potrebbe diventare così lento da fermarsi del tutto prima di raggiungere la posizione obiettivo desiderata; chiamiamo questo fenomeno errore di assestamento.

 

 

Nei video possiamo vedere tre linee sul grafico. La linea blu rappresenta la posizione comandata, quella rossa la posizione attuale dell’attuatore e la linea verde finale l’uscita analogica inviata al controllore.

 

Guadagno proporzionale elevato

Ora aumenteremo il guadagno proporzionale a un valore più elevato (50.0). In questo piccolo sistema senza carico, con questo valore di guadagno il comportamento è in realtà piuttosto buono. Risponde rapidamente e si assesta esattamente sulla posizione obiettivo, ma possiamo comunque osservare un piccolo problema. In alcuni movimenti più ampi tende a superare la posizione e ad andare troppo oltre. Senza un’uscita sufficiente per tornare indietro nella direzione opposta, finirà comunque per fermarsi leggermente lontano dall’obiettivo desiderato.

 

 

Guadagno integrale

Per correggere il sovraelongazione e l’errore di assestamento, dobbiamo trovare un modo per sapere se il sistema ha smesso di muoversi senza però aver raggiunto esattamente la posizione obiettivo. Nel tempo, ogni volta che viene registrata la posizione del sensore, aggiungiamo l’eventuale errore a un valore di errore cumulativo in continua crescita. Se questo continua ad aumentare, significa che non siamo ancora abbastanza vicini. Se inizia a crescere in direzione negativa, siamo andati troppo oltre. Se non cresce affatto, siamo esattamente sull’obiettivo.

L’accumulo costante di singoli valori in un determinato intervallo di tempo è esattamente ciò che fa un integrale: l’integrale dell’errore nel tempo. L’errore accumulato, moltiplicato per il guadagno integrale, rimetterà in movimento il sistema, anche solo leggermente, se perdiamo velocità a causa del controllo basato esclusivamente sul termine proporzionale.

Poiché si tratta di un sistema a bassa inerzia, testeremo i parametri seguenti con un guadagno proporzionale ridotto, installato appositamente per poter osservare gli effetti.

 

Guadagno integrale ridotto

Se il guadagno integrale è ridotto (0.75), inizialmente la curva del movimento appare come un controllo basato soltanto sul termine proporzionale. Ma con il passare del tempo possiamo vedere il valore attuale avvicinarsi gradualmente alla posizione obiettivo. Ci vuole un po’ di tempo, poiché l’errore si accumula lentamente: non è esattamente una risposta ad alta velocità.

 

 

Guadagno integrale elevato

Se abbiamo un certo errore che si accumula, ma lo moltiplichiamo per un guadagno troppo elevato (100), applicheremo troppa uscita troppo rapidamente e il sistema andrà oltre il punto desiderato. Dovrà quindi invertire la direzione e tornare indietro, probabilmente superando nuovamente il punto in una rapida oscillazione avanti e indietro. Sul grafico può sembrare interessante, ma vogliamo trovare il valore ideale tra un guadagno ridotto e uno elevato.

 

 

Un secondo test consiste nel provare un guadagno integrale elevato (questa volta, 1000) dopo aver installato anche un guadagno proporzionale elevato (100). Questa volta si verifica un certo sovraelongazione iniziale del sistema a causa dell’elevato guadagno proporzionale e del guadagno integrale aggiunto, che conferiscono al sistema molta quantità di moto proprio quando viene applicato il comando di ingresso. Tuttavia, subito dopo il sovraelongazione, il sistema reagisce rapidamente per correggersi, seguendo la classica pendenza concava caratteristica del guadagno integrale.

 

 

Guadagno PI ottimale

Nell’ultimo esempio scegliamo un guadagno proporzionale piuttosto elevato per fornire una reazione iniziale rapida (100) e un guadagno integrale relativamente ridotto, in modo da correggere immediatamente l’errore evitando però il sovraelongazione e l’oscillazione problematici (10).

 

 

Quest’ultimo esempio mostra un’ottima risposta. Il segnale del setpoint blu è quasi invisibile dietro il segnale rosso della posizione attuale e, per questa applicazione di controllo del movimento, è esattamente ciò che vogliamo.

 

Tutti i video e le immagini sono stati utilizzati per gentile concessione dell’autore